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重组数学

四月 19th, 2019  |  九五至尊老品牌值信赖

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[SinGuLaRiTy] 组合数学,singularity

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加法原理

设事件A有m种发生艺术,事件B有n种产生办法,则事件A或B之壹有m+n种发生艺术。
集合论语言:若 |A| = m , |B| = n , A∩B =  Φ, 则 |AUB| = m + n 。

<例>

(一)某班选修企管的有 18 人,不选的有 十 人,则该班共有 1八 + 拾 = 2十八位。

(贰)新加坡每一日直达北京的大巴有 伍 次,客机有 三 次,
则每一天由京城直达法国巴黎的旅行格局有 伍 + 三 = 八 种。

加法原理

设事件A有m种发生艺术,事件B有n种产生办法,则事件A或B之一有m+n种爆发办法。
集合论语言:若 |A| = m , |B| = n , A∩B =  Φ, 则 |AUB| = m + n 。

<例>

(1)某班选修企管的有 1八 人,不选的有 10 人,则该班共有 1八 + ⑩ = 二17人。

(二)东京每一天直达香岛的大巴有 5 次,客机有 三 次,
则每一日由上海市达到规定的标准新加坡的远足格局有 伍 + 3 = 捌 种。

乘法原理

设事件A有m种发生式,事件B有n种爆发艺术,则事件A与B有 m · n种发生办法。
集合论语言:若 |A| = m , |B| = n , A*B = {(a,b) | a∈A,b ∈ B}, 则 |A
* B| = m * n 。

<例>

(一) 某种字符串由多个字符组成,第一个字符可选自{a,b,c,d,e},第三个字符可选自{1,贰,3},则那种字符串共有5
* 3 = 15 个。

(二) 从A到B有叁条道路,从B到C有两条道路,则从A经B到C有3 * 2=6 条道路。

(3*)a.求小于一千0的含1的正整数的个数

分析:

小于一千0的不含1的正整数可看做四个人数,但0000除此之外.
故有9×9×9×9-1=6560个.
含1的有:9999-6560=3439个

         b.求小于一千0的含0的正整数的个数

分析:

不含0的1位数有9个,2位数有9*9  个,3位数有9^3  个,4位数有9^4 个 
不含0小于一千0的正整数有玖+9^二+玖^三+九^4 =738十三个
含0小于一千0的正整数有9999-7380=二6二11个

乘法原理

设事件A有m种发生式,事件B有n种发生办法,则事件A与B有 m · n种发生艺术。
集合论语言:若 |A| = m , |B| = n , A*B = {(a,b) | a∈A,b ∈ B}, 则 |A
* B| = m * n 。

<例>

(1) 某种字符串由五个字符组成,第两个字符可选自{a,b,c,d,e},第二个字符可选自{一,二,3},则那种字符串共有五
* 3 = 15 个。

(贰) 从A到B有叁条道路,从B到C有两条道路,则从A经B到C有三 * 2=6 条道路。

(3*)a.求小于10000的含一的正整数的个数

分析:

小于一千0的不含一的正整数可视作三个人数,但0000除此而外.
故有9×9×9×9-1=6560个.
含1的有:9999-6560=3439个

         b.求小于一千0的含0的正整数的个数

分析:

不含0的1位数有9个,2位数有9*9  个,3位数有9^3  个,4位数有9^4 个 
不含0小于一千0的正整数有九+玖^二+玖^3+玖^4 =73七十五个
含0小于一千0的正整数有999九-7380=二陆1七个

排列与组合

定义:从n个不相同的要素中,取r个不重复的成分,按顺序排列,称为从n个中取r个的无重排列。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的照应暗记为
 P(n,r) 。

排列:从n个中取r个的排列的卓绝例子是从n个不一致的球中,抽取r个,放入r个分歧的盒子里,每盒三个。第一个盒子有n种选用,第3个有n-1种选取,······,第r个有n-r+一种选取。故有P(n,r)=n(n-1)······(n-r+1)。

重组:从n当中取r个的组合的卓越例子是从n个差异的球中,收取r个,放入r个一样的盒子里。每一个盒子要放二个球。每壹种组成方案都得以衍生出r!种排列方案来。C(n,r)=p(n,r)/r! 。

排列与重组

定义:从n个不相同的要素中,取r个不重复的元素,按次序排列,称为从n当中取r个的无重排列。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的照应旗号为
 P(n,r) 。

排列:从n当中取r个的排列的独立例子是从n个差异的球中,收取r个,放入r个不相同的盒子里,每盒二个。第三个盒子有n种采用,第1个有n-壹种选取,······,第r个有n-r+1种选取。故有九五至尊老品牌值信赖,P(n,r)=n(n-1)······(n-r+1)。

组合:从n当中取r个的结缘的优秀例子是从n个区别的球中,抽出r个,放入r个同样的盒子里。各类盒子要放一个球。每一种组成方案都足以衍生出r!种排列方案来。C(n,r)=p(n,r)/r! 。

<组合公式的性质>

性质1:C(n,0)=C(n,n)
性质2:C(n,k)=C(n,n-k)
性质3:C(n,k)+C(n,k+1)=C(n+1,k+1)

二项式定理:九五至尊老品牌值信赖 1

<例>

壹.有双重成分的全排列

有k种成分,当中第i种成分有ni个,全部因素一共是n个。求全排列的个数.
解:设成分的总的数量为n。它一样类成分被重复总结了ni!次.所以答案为:n!/(n1!*n2!*…nk!)

二.可另行选取的重组

有n个不一致的要素,各类成分得以选多次,一共选择k个成分,有稍许种方法?

如n=3,k=2,有6种选择:(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)

分析:设第3个元素选拔x三个,第二个成分选用x二个,……,第n个因素选用xn个。则有方程:x1+x2+……xn=k。难题转变为求方程的非负整数解的个数。令yi=xi+1,则答案为y壹+y2+…+yn=k+n的正整数解的个数。想想k+n个壹律的小球拍成一列,今后要把它分成n个部分,则只需在中间放置n-一块隔板就能够。一共有k+n-3个职位用来放隔板,所以答案为C(n+k-1,n-1)

<组合公式的属性>

性质1:C(n,0)=C(n,n)
性质2:C(n,k)=C(n,n-k)
性质3:C(n,k)+C(n,k+1)=C(n+1,k+1)

2项式定理:九五至尊老品牌值信赖 2

<例>

一.有重新成分的全排列

有k种成分,当中第i种成分有ni个,全体因素壹共是n个。求全排列的个数.
解:设成分的总额为n。它一样类成分被又一次计算了ni!次.所以答案为:n!/(n1!*n2!*…nk!)

2.可重复选拔的结缘

有n个不相同的成分,每种成分得以选数十次,1共选取k个成分,有多少种方法?

如n=3,k=2,有6种选择:(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)

解析:设首个成分采用x二个,第四个因素选用x二个,……,第n个要素选拔xn个。则有方程:x1+x二+……xn=k。难题调换为求方程的非负整数解的个数。令yi=xi+壹,则答案为y一+y二+…+yn=k+n的正整数解的个数。想想k+n个一样的小球拍成一列,今后要把它分为n个部分,则只需在中间放置n-1块隔板就能够。1共有k+n-三个地点用来放隔板,所以答案为C(n+k-一,n-①)

会合拆分

聚集拆分

<整数的冬日拆分>

将2个整数n拆成冬天的k个数的和,问有微微种办法?

将n个一样的球全部放入k个一样的盒子,问有微微种艺术?
        p(n,k)=p(n-1,k-1)+p(n-k,k)

<整数的严节拆分>

将二个整数n拆成冬辰的k个数的和,问有微微种办法?

将n个同样的球全体放入k个同样的盒子,问有微微种办法?
        p(n,k)=p(n-1,k-1)+p(n-k,k)

<集合的冬日分拆(第一类stirling)>

将3个暗含n个成分的会面拆成k个子集,每一种子集非空,且子集之间无交集,问有多少种情势?

       
设S(n,k)表示解,则S(n,k)=S(n-1,k-1)+S(n-1,k)*k,其中S(n,n)=1,S(n,1)=1,若i<j,则S(i,j)=0.

将n个不一样的小球全体放入k个同样的盒子,须要各种盒子都不为空。

<集合的冬辰分拆(第叁类stirling)>

将一个含有n个因素的联谊拆成k个子集,每一种子集非空,且子集之间无交集,问有稍许种方法?

       
设S(n,k)表示解,则S(n,k)=S(n-1,k-1)+S(n-1,k)*k,其中S(n,n)=1,S(n,1)=1,若i<j,则S(i,j)=0.

将n个区别的小球全体放入k个同样的盒子,要求每个盒子都不为空。

<集合的平稳分拆>

将1个涵盖n个因素的集合拆成有序的k个子集,各种子集非空,且子集之间无交集,问有多少种方式?

将n个不相同的小球全部放入k个区别的盒子,要求各样盒子都不为空。
设S(n,k)表示集合n的冬季分拆,则本题的答案为:
              k!*S(n,k)
其中S(n,n)=1,S(n,1)=1,若i<j,则S(i,j)=0

<集合的雷打不动分拆>

将三个含有n个因素的集纳拆成有序的k个子集,每种子集非空,且子集之间无交集,问有稍许种办法?

将n个不一致的小球全体放入k个差别的盒子,须要种种盒子都不为空。
设S(n,k)表示集合n的冬季分拆,则本题的答案为:
              k!*S(n,k)
其中S(n,n)=1,S(n,1)=1,若i<j,则S(i,j)=0

<整数的有序拆分>

将三个整数n拆成有序的k个数的和,问有多少种方法?

将n个同样的球全部放入k个不一致的盒子,问有微微种办法?

C(n-1,k-1)

<整数的稳步拆分>

将多少个平头n拆成有序的k个数的和,问有稍许种方法?

将n个一样的球全部放入k个不一样的盒子,问有微微种办法?

C(n-1,k-1)

<*经文分配难点12态>

九五至尊老品牌值信赖 3

<*优良分配难点1二态>

九五至尊老品牌值信赖 4

 第一类Stirling数

将n个不一致的数分成k个非空循环排列1共有多少种方法。

S1(n,k)=S1(n-1,k-1)+(n-1)*S1(n-1,k)
递推关系的认证:
考虑第n个数,n可以独自构成一个非空循环排列,那样前n-一种数构成k-一个非空循环排列,方法数为s1(n-一,k-一);
也足在此从前n-一种数构成k个非空循环排列,而第n个数插入第i个数的左手,那有(n-一)*s1(n-1,k)种方法。

 第一类Stirling数

将n个不相同的数分成k个非空循环排列一共某些许种艺术。

S1(n,k)=S1(n-1,k-1)+(n-1)*S1(n-1,k)
递推关系的认证:
设想第n个数,n能够独立构成3个非空循环排列,那样前n-一种数构成k-三个非空循环排列,方法数为s一(n-一,k-壹);
也得从前n-1种数构成k个非空循环排列,而第n个数插入第i个数的左手,那有(n-1)*s1(n-1,k)种方法。

鸽笼原理

又名抽屉原理。有n个鸽笼,未来放入m只鸽子(m>n)则必有多只信鸽在一个笼子。

鸽笼原理

又名抽屉原理。有n个鸽笼,现在放入m只鸽子(m>n)则必有八只信鸽在一个笼子。

容斥原理

如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类成分个数总和=
A类成分个数+
B类元素个数+C类成分个数—既是A类又是B类的成分个数—既是A类又是C类的因素个数—既是B类又是C类的要素个数+既是A类又是B类而且是C类的成分个数。

(A∪B∪C = A+B+C – A∩B – B∩C – C∩A + A∩B∩C)

<公式>

九五至尊老品牌值信赖 5

 

Time : 2017-02-08

容斥原理

假设被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类成分个数总和=
A类成分个数+
B类元素个数+C类成分个数—既是A类又是B类的因素个数—既是A类又是C类的要素个数—既是B类又是C类的成分个数+既是A类又是B类而且是C类的因素个数。

(A∪B∪C = A+B+C – A∩B – B∩C – C∩A + A∩B∩C)

<公式>

九五至尊老品牌值信赖 6

 

Time : 2017-02-08

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